博弈论通俗演义:美女的硬币游戏与为啥你炒股总亏

2019年2月13日12:27:04 发表评论浏览:23

这是博弈论通俗演义的第二篇。我们首先分析经典的「美女的硬币游戏」,而后挖掘它背后的模型,再引出「为啥你炒股总亏」的问题。

美女的硬币游戏

问题描述

美女的硬币游戏描述如下:

美女提议与你进行一个游戏,规则如下:

  • 双方各持一枚硬币,同时亮出。
    • 若双方均为正面,则美女给你 3 元奖励;
    • 若双方均为反面,则美女给你 1 元奖励;
    • 若双方正反不一致,则你输给美女 2 元。

那么现在的问题是:

  • 如果美女不怀好意,想要在你这里赚钱,她应该怎么做?
  • 你是否有必胜的策略,能在这个游戏中赚到美女的奖励?

看似公平

我们可以用一张表格表示这个游戏可能出现的各种情况下,你的收益。

↓美女·你→
3-2
-21

乍看起来,总共有 4 中情况,每种情况出现的概率都是 1414。于是这个游戏是公平的,不管怎样,一直玩下去你也不会亏钱。对于广大单身男同胞,可能还获得了一个与美女搭讪的机会。看上去不亏。但事实真是这样吗?

藏在概率里的陷阱

游戏是公平的,这个推论建立在上述 4 种情况出现的概率均等的前提下。某种程度上,这受到了各种「抛硬币实验」的影响。——大家可能默认硬币出现正反面的概率是均等的,都为 1212。但是这个前提在当前问题中不成立。

实际上,参与游戏的双方,可以选择以一定的概率亮出正面或反面。我们假设美女亮出正面的概率是 pp,而你亮出正面的概率是 qq。于是,对于你来说,参与游戏获得收益的期望是E==3pq−p(1−q)−2(1−p)q+2(1−p)(1−q)8pq−3p−3q+1.E=3pq−p(1−q)−2(1−p)q+2(1−p)(1−q)=8pq−3p−3q+1.

显然,若 pp, qq 不全为 1212 时,期望不一定为 0。它可能大于 0 也可能小于 0。

不怀好意的美女

现在假设美女不怀好意。也就是说,她想从你手中赢钱。那么美女要怎样做呢?

考虑 EE 是你收益的期望。那么,不怀好意的美女希望通过改变 pp 的值,使得 E<0E<0。这即是⇔⇔E<08pq−3p−3q+1<0p(8q−3)<3q−1.E<0⇔8pq−3p−3q+1<0⇔p(8q−3)<3q−1.

考虑当 8q−3>08q−3>0,即 q>38q>38 时,原式等价于p<3q−18q−3.p<3q−18q−3.

由于 f(q)=3q−18q−3f(q)=3q−18q−3 在 (38,1](38,1] 上是 qq 的减函数。因此当 p<f(1)=25p<f(1)=25 时,原式成立。

再考虑当 8q−3<08q−3<0,即 q<38q<38 时,原式等价于p>3q−18q−3.p>3q−18q−3.

由于 f(q)=3q−18q−3f(q)=3q−18q−3 在 [0,38)[0,38) 上是 qq 的减函数。因此当 p>f(0)=13p>f(0)=13 时,原式成立。

再考虑当 8q−3=08q−3=0,即 q=38q=38 时,对任意的 p∈[0,1]p∈[0,1] 成立E=p(8q−3)−3q+1=−18.E=p(8q−3)−3q+1=−18.

综上所述,当 p∈(13,25)p∈(13,25) 时,无论 qq 如何取值,美女都能从你手中赢钱。

苦苦挣扎的你

从上一节中,我们已经可以看出,事实上美女是有必胜的策略的。因此原题第二个问题的答案就显而易见了——你没有必胜的策略。不过不死心的你,可能还想要从你的角度来分析一下。

我们考虑一种极端情况,即「你」的收益最大化的情况,你亮出正面的概率 qq 应当满足什么条件。为了让美女无机可乘,你应当调整概率 qq,使得无论美女亮出正面还是反面,你的收益的期望相等。因为,若不然,美女就可以通过调整概率 pp,使得正面或反面出现的次数更多,来降低你的总收益。——这与「你的收益最大化」的假设矛盾。

首先,我们列出当美女亮出正面或反面时,你的收益的期望:{E+=3q−2(1−q),E−=−2q+(1−q).{E+=3q−2(1−q),E−=−2q+(1−q).

现在,令 E+=E−E+=E−,则有一元一次方程的解 q=38q=38。这就是说,当你亮出正面的概率是 3838 时,你的收益最大。而最大的收益是多少呢?——我们在上一节已经计算过了E(q=38)=−18.E(q=38)=−18.

这也就是说,最好的情况,你平均每一局游戏也得亏 −18−18 元钱。因此,你是没有必胜策略的(相反美女是有的)。

美女硬币游戏的要义和模型

美女硬币游戏的要义,其实就是她的「提议」。她的提议看起来是一个公平的游戏,但实际上是她占据了话语权。具体到游戏中,就是占据了游戏规则的制定权。那么,美女硬币游戏中的美女,事实上就具有了[前作]中提及的先发优势。

更抽象的问题

我们说,假设越强,结论就越弱;反过来,假设越弱,结论就越强。现在我们削弱美女硬币游戏的假设,让它变得更抽象,从而加强我们已有的结论。

考虑到硬币的正反面地位等同。我们不妨设「正正」的情况,收益为 aa;而「反反」的情况,收益为 bb。为了让游戏「看起来公平」,我们需要保证「正反」和「反正」的情况,收益为 −a+b2−a+b2。

↓·→
aa−a+b2−a+b2
−a+b2−a+b2bb

这种情况下,对手收益的期望是E==apq−a+b2p(1−q)−a+b2(1−p)q+b(1−p)(1−q)2(a+b)pq−a+3b2p−a+3b2q+b.E=apq−a+b2p(1−q)−a+b2(1−p)q+b(1−p)(1−q)=2(a+b)pq−a+3b2p−a+3b2q+b.

因此,你收益最大时应满足q=a+3b4(a+b).q=a+3b4(a+b).

此时,你收益的期望是E=−(a−b)28(a+b).E=−(a−b)28(a+b).

考虑到 (a−b)2>0(a−b)2>0 对任意的 a≠ba≠b 总是成立。于是,我们得到了一个假设很弱的结论:

若你的对手巧妙地设置 aa 和 bb 的值,使得 a≠ba≠b 及 a+b>0a+b>0,那么你就总是会输。

从这里,我们也能看出,所谓的「先发优势」是何等巨大。先发者只需要稍微设置一下游戏规则,你就只能输输输了。

炒股还是不炒股?这不是个问题。

现在我们回到炒股的问题上来。在股市中,有如下对应关系。

美女的硬币股市
美女庄家
亮正面做多
亮反面做空
收益收益

如此一来,结论就显而易见了。在一个由庄家控盘的股票上,不论你怎么买入卖出,庄家都很容易通过一定的策略让你(和其他散户)的收益期望最大值为负。如此一来,结论就是:庄家总是能赚钱,而散户长远看总是亏钱。

因此,炒股还是不炒股?这不是个问题。珍爱资产,远离股市——特别是庄家多的题材股。如果你一定要炒股,那么,请在合适的时机投资你了解、看好的基本面良好的股票。

原文链接:https://liam.page/2018/11/14/game-of-beauty-and-stock-market/

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